پارادکس در ریاضیات!

[™Ali]

پارادکس در لغت به معنی اشتباه می باشد . پارادکس در ریاضی به اشتباهات واضحی که به چشم نمی آیند گویند ، در زیر نمونه هایی از پارادکس را مشاهـده می کنید ! پاراکس را سـفـسـطه ، متناقـض نما ، پارادوکس و ... نیز می گویند .

سـفسـطه در جبر :

1 ) می خواهـیم اثبات کنیم 2 = 1 .

برای این کار دو عدد متوالی آ و ب را در نظر می گیریم و به صورت زیر عمل می کنیم .

1- فرض می کنیم x = y .

2- طرفین را در x ضرب می کنیم . xy = x2

3- از طرفین y به توان ۲ را کم می کنیم . xy - y2 = x2 - y2

4- آن را تجزیه می کنیم : y(x-y)=(x+y)(x-y) .

5- طرفین را به x-y تقسیم می کنیم : y = x + y .

6- طبق رابطه 1 داریم : y = 2y .

7- طرفین را به y تقسیم می کنیم : 2 = 1 .

2 ) نمونه ای دیگر :

معادله را در نظر می گیریمX - 1 = 2 .

دو طرف تساوی را در X - 5 ضرب می کنیم .

X2 – 6X + 5 = 2X – 10

عـبارت X – 7 را از دو طف تساوی کم می کنیم .

X2 – 7X + 12 = X – 3

دو طرف را بر X – 3 تقـسیم می کنیم .

X – 4 = 1

یعـنی X = 5 که نادرستی آن واضع است .

3 )حالا نشان می دهیم بعضی قوانین ریاضی غـلط است .

از همان معـادله X – 1 = 2 شـروع می کنیم .

فـقـط به طرف چپ تساوی عدد 10 را می افزاییم . آن گاه داریم :

X + 9 = 2

دو طرف تساوی را در X – 3 ضرب می کنیم .

X2 + 6X – 27 = 2X – 6

از دو طف تساوی 2X – 6 را کم می کنیم .

X2 + 4X – 21 = 0

دو طرف را بر X + 7 تقـسیم می کنیم که از آن X – 3 = 0 یا X = 3 که همان جواب معادله X – 1 = 2 اسـت .

پارادوكس شيپور گابريل:

در اين مقاله اين تناقض و جود دارد كه : يك بار ثابت مي شود ،تمام رنگ هاي دنيا براي رنگ كردن يك سطح كافي نيست و از طرف ديگر ثابت مي شود با مختصر رنگي ، مي توان همان سطح را رنگ كرد .طرح اين مسئله بصورت زير است :
را در نظر مي گيريم Y=1/x (x>0) تابع حقيقي به صورت، نمودار تابع را در صفحه محور هاي مختصات رسم مي كنيم .
مي خواهيم ثابت كنيم سطح زير منحني به معادله
Y= 1/x x>=1
را نمي توان با همه رنگ هاي دنيا رنگ كرد .Xو محور را با پي واحد مكعب رنگ مي توان كرد .(كه در اين صورت سطح جانبي حاصل هم رنگ x2. جسم نامتناهي حاصل از دوران اين سطح حول محور
خواهد بود )
3 .سطح جانبي اين جسم حاصل از دوران اين سطح را نمي توان با همه رنگ هاي دنيا رنگ كرد .

( حل 1 ) در حقيقت سؤال اينست که آيا سطح A در شکل 1 متناهی است ؟
حال به محاسبه اندازه سطح A می پردازيم .
= lim b+ln (X) { } { } { } { } 1b = lim b{ } { } { } +{ } { } { } ln (b-ln 1)=+{ } { } { }
نامتناهي است و نمي توان آن را با تمام رنگ هاي دنيا رنگ كرد .A پس مقدار
ها محاسبه مي كنيم x راحول محور A(حل 2) حال حجم جسم حاصل ار دوران سطح نامتناهي
Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } (-{ } { } { } )1b = { } { } { } { }
واحد مكعب رنگ ، پر از رنگ كرد .{ } { } { } پس مي توان آنرا با
باشد نمي توان رنگ كرد .A در اين صورت سطح جانبي جسم هم رنگي خواهد شد. در حالي كه نصف مقطع عرضي آنرا كه همان سطح نامتناهي
(بنا به حل 1)
در رياضي اين جسم به شيپور گابريل معروف است .
(حل 3) سطح جانبي جسم نامتناهي را محاسبه ميكنيم.
S = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } (ds = { } { } { }
S = = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { }
محاسبه انتگرال اخير مشكل است ، ولي توجه داشته باشيم كه :
s>+{ } { } { } پس مي توان گفت كه { } { } { } >{ } { } { } = { } { } { }
پس سطح جانبي جسم ، نامتناهي است و همه ي رنگ هاي دنيا براي رنگ كردن آن كافي نيست ، در حاليكه در حل 2 نتيجه گرفتيم كه سطح جانبي به همراه حجم جسم با{ } { } { } واحد مكعب رنگ ، رنگي خواهد شد.


پارادکس در حساب

در این قـسمت دو نمونه پارادکس در مورد اعداد را بیان می کنیم .

1 ) 2 =1

این بر همه روشن است که : 4 – 6 = 1 – 3 .

اگر دو طف تساوی را در 1- ضرب کنیم داریم : 6 – 4 = 3 – 1 .

می توان به دو طرف تساوی مقداری را افـزود . بـرای نمونه نه چهارم .

پس هر دو طرف را می توان به صورت مربه یک دو جمله ای نوشت : یعنی در سمت چپ داریم : یک منهای دوسوم به توان دو و در طرف چپ داریم دو منهای سه دوم به توان دو .

حالا از دو طرف تساوی جذر گرفته و دو سوم را کم می کنیم .

داریم : 2 = 1 .

2 ) 3 = 2

این تساوی را هم شبیه مورد بالا می توان اثبات نمود .

از آن جا که من نمی دانم چگونه کسر را نشان دهـم به جای کسر ها از حروف اسـتفاده می کنم .

15 – 9 = 10 – 4 .

به دوطرف تساوی بیسـت و پنج را می افزاییم . دو طرف را به مجذور دو جمله ای تبدیل می کنیم . جذر می گیریم و سپس پنج دوم را کم می کنیم .

داریم : 3 = 2 .

با همین روش می توان تمام اعـداد متوالی را با هـم برابر دانسـت .

متناقض نما در هندسه

برای مشاهده این لینک/عکس می بایست عضو شوید ! برای عضویت اینجا کلیک کنید

جواب ها :

1 ) سـفـسـطه های جبر :

در هر سه نمونه اشتباه آن جا اتفاق می افتد که ما دو طرف تسـاوی بر صفـر تقـسیم کردیم .

برای نمونه در تساوی یکم مقـدار x – y برابر صفر است وما نمی توانیم دو طرف تساوی را بر صفر تقـسیم کنیم .

2 ) پارادکس شاپور گابریل :

من جواب این تناقص را به درستی نمی دانم اگر شما می دانید به من بگویید . این پارادکس از وبلاگ کوچه ریاضی در پرشین بلاگ برداشته شده است .

3 ) پارادوکـس در حساب :

در این گونه سوال ها اشـتباه ما اینجاست که در مورد اصل ضرب یا تقسیم دوطرف تساوی ، نبایدعـددی که در دو طرف ضرب می شود مساوی صفر باشـد و ما بدون در نظر گرفتن این نکته ، دو طرف تساوی را ایکس منهای 3

ضرب یا بر آن تقسیم کردیم .

4 ) سـفـسـطه در هندسه :

برای آن که به خوبی متوجه جواب شوید باردیگر به تصویر نگاهی بیاندازید . مشـاهـده می کنید که شـیب وتر ذوذنقه با شـیب وتر مثلث برابر نیسـت و ما آن دو را در کنار هم قرار دادیم . و این سبب شد که فضایی در هر قـسـمت برخورد چهار ضلعی ها با مثلث ها به وجود آید که مجموع آن برابر است با نیم واحد مربع .

من این موضوع را با رسم درک کردم شما هم می توانید با نرم افزارهایی مانند اتوکد این را رسم کرده و به جواب برسید .
منبع